Понятие комплексного числа

Содержание страницы:

Лекция 1. Понятие комплексного числа

Комплексным числом z называется число вида z = a + bi , где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Число a называется

действительной частью (Re z) ) комплексного числа z , число b называется мнимой частью (Im z) ) комплексного числа z . a + bi – это единое число, а не сложение.

Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: z = b + ai или переставить мнимую единицу: z = a + ib – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: z = a + bi

Приведем геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой С. Поэтому на чертеже следует поставить букву С, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:

Re z – действительная ось

Im z – мнимая ось

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, z = a + bi – это и есть алгебраическая форма комплексного числа.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Пример 1 Сложить два комплексных числа

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Таким способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2 Найти разности комплексных чисел если

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: Для наглядности ответ можно переписать так:

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Для умножения важно помнить, что

Пример 3 Найти произведение комплексных чисел

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:

Деление комплексных чисел

Пример 4 Даны комплексные числа Найти частное

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем формулу (a — b)(a + b) = a2 — b2 и смотрим на наш знаменатель: 7 — 6i . В знаменателе уже есть (a — b) , поэтому сопряженным выражением в данном случае является (a + b) , то есть 7 + 6i

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на 7 + 6i , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число 7 + 6i:

Распишем подробнее

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел:

Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы:

Пример 5 Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме a + bi ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение на