Подпространство линейного пространства

1.4 Подпространство линейного пространства

Определение. Подпространством линейного пространства называется множество элементов из , которое само является пространством, т.е. из

Свойства подпространства линейного пространства

1. Размерность любого подпространства пространства не превосходит n. Очевидно, что само линейное пространство является пространством наибольшей размерности.

2. Если — подпространство линейного пространства , то любой базис этого подпространства e1,e2,…,em можно дополнить векторами таким образом, что совокупность векторов будет являться базисом линейного пространства . Линейное подпространство, имеющее своим базисом совокупность векторов e1,e2,…,em, иногда называют линейной оболочкой, натянутой на эти векторы.

Задачи.

Задача 1: Будет ли линейным пространством множество всех положительных чисел R+

Решение. Ответ зависит от способа введения операций сложения и умножения на число элементов рассматриваемого множества.

1°. Пусть операции вводятся «естественным” образом. В этом случае множество положительных чисел не образует линейного пространства, поскольку в нем отсутствует нулевой элемент.

2°. Если операцию «сложения” определить как обычное произведение двух чисел, а «умножение на число 1 ” определить как возведение положительного числа в степень 1 , то множество положительных чисел будет являться линейным пространством, в котором роль нулевого элемента играет число «1”.

Задача2: Проверить, что элементы g1,g2,g3 образуют базис в и найти координатное представление элемента x в этом базисе, если в некотором исходном базисе:

Решение.

1°. Для того чтобы из элементов g1,g2,g3 можно было образовать в базис, необходимо и достаточно, чтобы эти элементы были линейно независимыми. Данное условие равносильно тому, что определитель матрицы, этих векторов, отличен от нуля и ранг не меньше 3.

и ранг равен 3

Значит элементы g1,g2,g3 образуют базис в

2°. Обозначим искомые координаты элемента x через б тогда . Запишем в координатной форме:

Составим систему:

Решив ее методом Гаусса получим:

Откуда следует, что элемент x в базисе g1,g2,g3 имеет координатное представление

Задача 3: Найти матрицу перехода от базиса в , образованного элементами к базису если в некотором исходном базисе:

Решение: Пусть x,x’,x» обозначают координатные столбцы элемента x в трех базисах: исходном, соответственно. Тогда имеют место равенства где матрицы G и F составлены из координатных столбцов базисных элементов то есть