Подпространство линейного пространства

1.4 Подпространство линейного пространства


Определение. Подпространством  линейного пространства  называется множество элементов из  , которое само является пространством, т.е. из

Свойства подпространства линейного пространства 

1. Размерность любого подпространства пространства  не превосходит nОчевидно, что само линейное пространство  является пространством наибольшей размерности.

2. Если  - подпространство линейного пространства , то любой базис этого подпространства e1,e2,...,em можно дополнить векторами  таким образом, что совокупность векторов  будет являться базисом линейного пространства  . Линейное подпространство, имеющее своим базисом совокупность векторов e1,e2,...,em, иногда называют линейной оболочкой, натянутой на эти векторы.


Задачи.

Задача 1: Будет ли линейным пространством множество всех положительных чисел R+ ?

Решение. Ответ зависит от способа введения операций сложения и умножения на число элементов рассматриваемого множества.

1°. Пусть операции вводятся "естественным” образом. В этом случае множество положительных чисел не образует линейного пространства, поскольку в нем отсутствует нулевой элемент.

2°. Если операцию "сложения” определить как обычное произведение двух чисел, а "умножение на число 1 ” определить как возведение положительного числа в степень 1 , то множество положительных чисел будет являться линейным пространством, в котором роль нулевого элемента играет число "1”.


Задача2: Проверить, что элементы g1,g2,g3 образуют базис в  и найти координатное представление элемента x в этом базисе, если в некотором исходном базисе:

Решение.

1°. Для того чтобы из элементов g1,g2,g3 можно было образовать в  базис, необходимо и достаточно, чтобы эти элементы были линейно независимыми. Данное условие равносильно тому, что определитель матрицы, этих векторов, отличен от нуля и ранг не меньше 3.

 и ранг равен 3

Значит элементы g1,g2,g3 образуют базис в 

2°. Обозначим искомые координаты элемента x через  б тогда  . Запишем в координатной форме:

Составим систему:

  Решив ее методом Гаусса получим: 

Откуда следует, что элемент x в базисе g1,g2,g3 имеет координатное представление


Задача 3: Найти матрицу перехода от базиса в  , образованного элементами  к базису  если в некотором исходном базисе:

 

Решение: Пусть x,x',x'' обозначают координатные столбцы элемента x в трех базисах: исходном,  соответственно. Тогда имеют место равенства  где матрицы G и F составлены из координатных столбцов базисных элементов  то есть

Обозначим через S матрицу перехода от базиса  к базису  для которой . Но из условий  следует, что 

Тогда  для любого элемента x'' , а это означает, что искомая матрица перехода S = G-1 ? F .

Рассчитав данное произведение получим:

Статистика
0  
Всього матеріалів 4286
0  
Всього коментарів 2
0  
Користувачів 15
Наші партнери
Оновлення new
  • Вступна кампанія в серпні: основні дати, які варто знати
  • В цьому місяці вступна кампанія для абітурієнтів підходить до фіналу. Ті, хто прагнуть вступити на спеціаліста на базі 11 і 9 класів до середини
  • Поняття злочину
  • Злочин, як і будь-яке інше правопорушення, є вчинком людини. Поняття злочину в кримінальному законі є універсальною і фундаментальною категорією :
  • Принципи чинності закону України про кримінальну відповідальність
  • Притягнення до кримінально-правової відповідальності певними державними органами в Україні здійснюється на основі кількох принципів, зокрема: 
  • 24 травня відбудеться ЗНО з української мови та літератури
  • Як повідоляє Український центр оцінювання якості освіти: «допуск абітурієнтів до пункту тестування триватиме з 10:15 до 10:50, початок зовнішнього
  • Умови застосування видачі або передачі злочинця
  • Підставою видачі  є вчинення особою суспільно-небезпечного діяння, яке відповідно до законодавства України та законодавства запитуючої держави є
Інформація
Голосування
Як часто ти відвідуєш Studies.In.Ua ?