Замена базиса

Лекция 7. Замена базиса


Матрица преобразования координат

Возьмём в пространстве En два различных базиса e1,e2,...,en и E1,E2,...,En

Рассуждение проведём для случая n = 3. Один и тот же вектор x относительно различных базисов имеет различные координаты. Можем написать:

Любой вектор второго базиса можем разложить по первому базису, т.е.

Подставим:

 

В силу единственности разложения по данному базису мы должны приравнять коэффициенты при векторах e1,e2,e3 и полученные. Тогда

Введём в рассмотрение матрицы

Тогда полученные соотношения можно записать в матричном виде X = Z ? X?

Матрица Z называется матрицей преобразование координат при переходе от старого базиса к новому, т.е. от базиса e1,e2,...,en к базису E1,E2,...,En . Причём, столбцами матрицы преобразования координат являются координаты вектора нового базиса E1,E2,...,En относительно старого базиса e1,e2,...,en .



Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть в пространстве En определён линейный оператор A , т.е. y = A ? x 

Или Y = A?X , где X (x1,x2,...,xn)и Y (y1,y2,...,yn)T матрицы-столбцы, составленные из координат векторов x и y относительно данного базиса n1,e2,...,enA - матрица линейного оператора A .

Выберем в том же пространстве En другой базис E1,E2,...,En . Относительно нового базиса матрица линейного оператора A будет иной. Обозначим через T матрицу преобразования координат, а через X? и Y? - одностолбцовые матрицы, составленные из координат векторов x и y относительно нового базиса, т.е.

X = T ? X? ,

Y = T ? Y?

Подставим полученное в общий вид, тогда получим: T ? Y? = A ? T ? X?

Умножая левую и правую части равенства слева на T-1 , получим: Y? = T-1 ? A ? T ? X? . 

Итак, если в En перейти к новому базису, то матрица линейного оператора также изменится и в самом общем случае будет равна T-1 ? A ? T .

Пример: Оператор A в базисе пространства E3

Найти его матрицу в базисе

 

Решение: Матрица оператора в новом базисе находим по формуле B = T-1AT , где T - матрица перехода от старого базиса к новому. Матрицу перехода находим по формуле T = X-1 ? Y .

Замена базиса



Сопряженный и самосопряженный оператор

 

Пусть в вещественном евклидовом пространстве En определён линейный оператор A 

Определение 1. Оператор A* в вещественном евклидовом пространстве En называется сопряженным по отношению к линейному оператору A в том же пространстве, если его матрица в любом ортонормированном базисе этого пространства является транспонированной по отношению к матрице оператора A .



Свойства сопряженного оператора

1. E* = E, где E - тождественный оператор, т.е. оператор, матрица которого E единичная в En

2. (A + B)* = A* + B*

 

3. (A ? B)* = B* ? A* 

4. если A-1 существует, то (A-1)* = (A*)-1

Определение 2. Линейный оператор A, определённый в вещественном евклидовом пространстве En, называется самосопряженным, или симметрическим, если он cовпадает со своим сопряженным оператором A* , т.е. если A* = A .

Матрица самосопряженного оператора совпадает с транспонированной в любом ортонормированном базисе, т.е. является симметричной относительно главной диагонали.



Свойства самосопряженного оператора

1. если A* = A , B* = B , то (A + B)* = A* + B* = A + B ; 

2. если A - невырожденный самосопряженный оператор, то (A-1)* = (A*)-1 = A-1 .

Доказательство. Действительно, если существует A-1 и кроме того A* = A , то в силу свойства 4 сопряженного оператора, получим (A-1)* = (A*)-1 = A-1 ;

3. Если A - самосопряженный оператор в вещественном пространстве En, то имеет место равенство: 



Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Пусть A - линейный оператор. Пусть x??1, где ?1 некоторое подпространство пространства En. Вектор y = A x может принадлежать подпространству ?1, а может и не принадлежать.

Определение. Подпространство ?1 называется инвариантным по отношению к оператору A, если A x? ?1, ?x? ?1.

Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора A, если найдётся такое число ?, что будет выполняться равенство A x = ? xПри этом число ? называют собственным значением (собственным числом) оператора A, соответствующим вектору x. Множество всех собственных значений оператора A называется его спектром.

Остановимся на отыскании собственных значений и собственных векторов линейного оператора A. Рассмотрение проведём для случая n = 3Итак, пусть в некотором базисе оператор A имеет матрицу

и пусть одностолбцовая матрица  соответствует вектору x. Тогда в силу определения

 

Дело свелось к решению системы линейных однородных уравнений, записанной в матричном виде. Очевидно, что эта система имеет ненулевое решение, если det(A ? ?E) = 0Уравнение det(A ? ?E) = 0 называется характеристическим уравнением оператора Aмногочлен det(A ? ?E) называется соответственно характеристическим многочленом оператора A. В координатной форме характеристическое уравнение выглядит так:

 

Решив его, найдём  - собственные значения линейного оператора. Далее, для суммы диагональных элементов матрицы A, которую называют следом этой матрицы trA или следом оператор A (trA), справедлива формула . Кроме того, detA = ?1?2?3.

После того как найдены собственные значения линейного оператора A, остаётся подставить их по очереди в уравнение и найти соответствующие собственные векторы x(1), x(2), x(3)

Пример: Найти собственные значения и собственные числа линейного оператора, матрица которого

Решение. По определения собственного вектора можем написать  - матрица – столбец, соответствующая искомому вектору x линейного оператора A;

В матричной форме получим:

Система однородная, следовательно, она имеет бесчисленное множество решений, если определитель системы равен нулю, т.е. имеем характеристическое уравнение:

Решая его, получим такие собственные значения ?1 = ?1; ?2 = 3.

Найдём соответствующие собственные векторы.

1) ?1 = ?1 подставим в уравнение, получим

Замена базиса

где t(1) - некоторый параметр. Таким образом, имеем множество коллинеарных векторов, соответствующих первому собственному числу ?1 = ?1:

Этот вектор нетрудно пронормировать, тогда мы получим единичный собственный вектор, соответствующий первому собственному числу ?1 = ?1 т.е.

2) ?2 = 3 подставим в уравнение, получим 

 

Замена базиса

В заключение заметим, что множество всех векторов y = A x , где x? En, называется областью значений линейного оператора A в En, а множество всех векторов x??1? Enтаких, что A x = 0, называется ядром линейного оператора.



Свойства собственных чисел и собственных векторов самосопряженного оператора

Рассмотрим самосопряженный оператор A, определённый в вещественном евклидовом пространстве En. В силу определения матрица его A -симметрическая.

Теорема 1. Собственные числа самосопряженного оператора A есть вещественные числа.

Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие двум различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.

>Доказательство. Пусть  - различные собственные значения самосопряженного оператора A, а  x1, x2 - соответствующие им собственные значения. Тогда

Следовательно,

Но  т.е. левые части равенств равны, следовательно, вычитая их почленно, получим:  а это и означает, что собственные векторы x1, x2 ортогональны.

Замечание. Так как собственные векторы самосопряженного оператора A ортогональны, их можно принять за базис линейного пространства, в котором определён этот линейный оператор. Поделив далее каждый вектор на его длину, мы получаем ортонор мированный базис.

Теорема 3. В базисе из единичных собственных векторов самосопряженного оператора матрица этого оператора диагональная, причём элементами диагонали являются её собственные числа.

Доказательство. Доказательство проведём для случая n = 3. Пусть e1, e2, e3 - единичные векторы самосопряженного оператора A относительно некоторого базиса линейного пространства ?3, отвечающие собственным значениям  этого линейного оператора, т.е.  . Примем векторы e1, e2, e3 за базис линейного пространства. Очевидно, что в этом базисе векторы  имеют координаты:

. Следовательно, матрица A оператора A в базисе e1, e2, e3 имеет вид:

Выбор такого базиса, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид, называется приведением матрицы к диагональному виду.

Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Ctrl + Enter
Статистика
0  
Всього матеріалів 4269
0  
Всього коментарів 1
1  
Користувачів 23
Оновлення new
  • Чинність закону про кримінальну відповідальність щодо злочинів, вчинених на території України
  • Особи, які вчинили злочини на території України, підлягають кримінальній відповідальності за КК України.  Злочин визнається вчиненим на території
  • Зворотна дія закону про кримінальну відповідальність у часі
  • Закон про кримінальну відповідальність, що скасовує злочинність діяння, пом'якшує кримінальну відповідальність або іншим чином поліпшує становище
  • Чинність закону про кримінальну відповідальність у часі
  • Закон про кримінальну відповідальність набирає чинності через 10 (десять) днів з дня його офіційного оприлюднення, якщо інше не передбачено самим
  • Законодавство України про кримінальну відповідальність
  • Законодавство України про кримінальну відповідальність становить:  Кримінальний кодекс України , який ґрунтується на:  Конституції України; 
  • Структура (система) Кримінального кодексу України (КК України)
  • Кримінальний кодекс України складається з двох взаємопов’язаних частин: Загальної та Особливої, кожна з яких у свою чергу, складається із розділів, а
Наші партнери
Інформація
Голосування
Чого бракує сайту ?