Замена базиса

Содержание страницы:

Лекция 7. Замена базиса

Матрица преобразования координат

Возьмём в пространстве En два различных базиса e1,e2,…,en и E1,E2,…,En

Рассуждение проведём для случая n = 3. Один и тот же вектор x относительно различных базисов имеет различные координаты. Можем написать:

Любой вектор второго базиса можем разложить по первому базису, т.е.

Подставим:

В силу единственности разложения по данному базису мы должны приравнять коэффициенты при векторах e1,e2,e3 и полученные. Тогда

Введём в рассмотрение матрицы

Тогда полученные соотношения можно записать в матричном виде X = Z X .

Матрица Z называется матрицей преобразование координат при переходе от старого базиса к новому, т.е. от базиса e1,e2,…,en к базису E1,E2,…,En . Причём, столбцами матрицы преобразования координат являются координаты вектора нового базиса E1,E2,…,En относительно старого базиса e1,e2,…,en .

Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть в пространстве En определён линейный оператор A , т.е. y = A x

Или Y = A X , где X (x1,x2,…,xn)T и Y (y1,y2,…,yn)T матрицы-столбцы, составленные из координат векторов x и y относительно данного базиса n1,e2,…,en , A — матрица линейного оператора A .

Выберем в том же пространстве En другой базис E1,E2,…,En . Относительно нового базиса матрица линейного оператора A будет иной. Обозначим через T матрицу преобразования координат, а через X и Y — одностолбцовые матрицы, составленные из координат векторов x и y относительно нового базиса, т.е.

X = T X ,

Y = T Y

Подставим полученное в общий вид, тогда получим: T Y = A T X

Умножая левую и правую части равенства слева на T-1 , получим: Y = T-1 A T X .

Итак, если в En перейти к новому базису, то матрица линейного оператора также изменится и в самом общем случае будет равна T-1 A T .

Пример: Оператор A в базисе пространства E3

Найти его матрицу в базисе

Решение: Матрица оператора в новом базисе находим по формуле B = T-1AT , где T — матрица перехода от старого базиса к новому. Матрицу перехода находим по формуле T = X-1 Y .

Сопряженный и самосопряженный оператор

Пусть в вещественном евклидовом пространстве En определён линейный оператор A

Определение 1. Оператор A* в вещественном евклидовом пространстве En называется сопряженным по отношению к линейному оператору A в том же пространстве, если его матрица в любом ортонормированном базисе этого пространства является транспонированной по отношению к матрице оператора A .

Свойства сопряженного оператора

1. E* = E, где E — тождественный оператор, т.е. оператор, матрица которого E единичная в En

2. (A + B)* = A* + B*

3. (A B)* = B* A*

4. если A-1 существует, то (A-1)* = (A*)-1 .

Определение 2. Линейный оператор A, определённый в вещественном евклидовом пространстве En, называется самосопряженным, или симметрическим, если он cовпадает со своим сопряженным оператором A* , т.е. если A* = A .

Матрица самосопряженного оператора совпадает с транспонированной в любом ортонормированном базисе, т.е. является симметричной относительно главной диагонали.

Свойства самосопряженного оператора

1. если A* = A , B* = B , то (A + B)* = A* + B* = A + B ;

2. если A — невырожденный самосопряженный оператор, то (A-1)* = (A*)-1 = A-1 .

Доказательство. Действительно, если существует A-1 и кроме того A* = A , то в силу свойства 4 сопряженного оператора, получим (A-1)* = (A*)-1 = A-1 ;

3. Если A — самосопряженный оператор в вещественном пространстве En, то имеет место равенство:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Пусть A — линейный оператор. Пусть x 1, где 1 некоторое подпространство пространства En. Вектор y = A x может принадлежать подпространству 1, а может и не принадлежать.

Определение. Подпространство 1 называется инвариантным по отношению к оператору A, если A x 1, x 1.

Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора A, если найдётся такое число , что будет выполняться равенство A x = x . При этом число называют собственным значением (собственным числом) оператора A, соответствующим вектору x. Множество всех собственных значений оператора A называется его спектром.

Остановимся на отыскании собственных значений и собственных векторов линейного оператора A. Рассмотрение проведём для случая n = 3. Итак, пусть в некотором базисе оператор A имеет матрицу

и пусть одностолбцовая матрица соответствует вектору x. Тогда в силу определения

Дело свелось к решению системы линейных однородных уравнений, записанной в матричном виде. Очевидно, что эта система имеет ненулевое решение, если det(A E) = 0. Уравнение det(A E) = 0 называется характеристическим уравнением оператора A; многочлен det(A E) называется соответственно характеристическим многочленом оператора A. В координатной форме характеристическое уравнение выглядит так:

Решив его, найдём — собственные значения линейного оператора. Далее, для суммы диагональных элементов матрицы A, которую называют следом этой матрицы trA или следом оператор A (trA), справедлива формула . Кроме того, detA = 1 2 3.

После того как найдены собственные значения линейного оператора A, остаётся подставить их по очереди в уравнение и найти соответствующие собственные векторы x(1), x(2), x(3)

Пример: Найти собственные значения и собственные числа линейного оператора, матрица которого

Решение. По определения собственного вектора можем написать — матрица – столбец, соответствующая искомому вектору x линейного оператора A;

В матричной форме получим:

Система однородная, следовательно, она имеет бесчисленное множество решений, если определитель системы равен нулю, т.е. имеем характеристическое уравнение:

Решая его, получим такие собственные значения 1 = 1; 2 = 3.

Найдём соответствующие собственные векторы.

1) 1 = 1 подставим в уравнение, получим

где t(1) — некоторый параметр. Таким образом, имеем множество коллинеарных векторов, соответствующих первому собственному числу 1 = 1:

Этот вектор нетрудно пронормировать, тогда мы получим единичный собственный вектор, соответствующий первому собственному числу 1 = 1 т.е.

2) 2 = 3 подставим в уравнение, получим

В заключение заметим, что множество всех векторов y = A x , где x En, называется областью значений линейного оператора A в En, а множество всех векторов x 1 En, таких, что A x = 0, называется ядром линейного оператора.

Свойства собственных чисел и собственных векторов самосопряженного оператора

Рассмотрим самосопряженный оператор A, определённый в вещественном евклидовом пространстве En. В силу определения матрица его A -симметрическая.

Теорема 1. Собственные числа самосопряженного оператора A есть вещественные числа.

Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие двум различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.

>Доказательство. Пусть — различные собственные значения самосопряженного оператора A, а x1, x2 — соответствующие им собственные значения. Тогда

Следовательно,

Но т.е. левые части равенств равны, следовательно, вычитая их почленно, получим: а это и означает, что собственные векторы x1, x2 ортогональны.

Замечание. Так как собственные векторы самосопряженного оператора A ортогональны, их можно принять за базис линейного пространства, в котором определён этот линейный оператор. Поделив далее каждый вектор на его длину, мы получаем ортонор мированный базис.

Теорема 3. В базисе из единичных собственных векторов самосопряженного оператора матрица этого оператора диагональная, причём элементами диагонали являются её собственные числа.

Доказательство. Доказательство проведём для случая n = 3. Пусть e1, e2, e3 — единичные векторы самосопряженного оператора A относительно некоторого базиса линейного пространства 3, отвечающие собственным значениям этого линейного оператора, т.е. . Примем векторы e1, e2, e3 за базис линейного пространства. Очевидно, что в этом базисе векторы имеют координаты: