Реклама від Yandex

Реклама від Google


Категорія: Алгебра и геометрия (Лекции)

Лекция 3. Возведение комплексных чисел в степень


Начнем с квадрата.


Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число 

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения  : 

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: . Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно.

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то: 


Пример 10 Дано комплексное число , найти z20.

Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. В примере 8 мы это уже сделали: 

Тогда, по формуле Муавра: 

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан  или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: Таким образом, окончательный ответ запишется так:


Пример 11 Дано комплексное число , найти z30. Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Представим число в тригонометрической форме:  (это число z4 Примера 8). Используем формулу Муавра  : 

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.


Пример 12 Возвести в степень комплексные числа i10, i33, (-i)21Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова: 

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень: 

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:


Пример 13 Возвести в степень комплексные числа  



Извлечение корней из комплексных чисел.


Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим пример: 

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения  ?

Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно:  и т.д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня.


Пример 14 Решить квадратное уравнение 

Вычислим дискриминант: 

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным формулам получаем два корня:

 

– сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение  имеет два сопряженных комплексных корня: 

Нетрудно понять, что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида  имеет ровно n корней, часть из которых могут быть комплексные


Пример 15 Найти корни уравнения 4z2+1=0 и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложим квадратный двучлен на множители:


Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?


Уравнение вида  имеет ровно n корней  , которые можно найти по формуле:

 

где  – это модуль комплексного числа ,  – его аргумент, а параметр принимает значения: 


Пример 16 Найти корни уравнения 

Перепишем уравнение в виде 

В данном примере , n=2 , поэтому уравнение будет иметь два корня: z0 и z1 .

Общую формулу можно сразу детализировать:

Возведение комплексных чисел в степень

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :

Число  располагается в первой четверти, поэтому:

 

Еще более детализируем формулу:

Подставляя в формулу значение k=0, получаем первый корень: Возведение комплексных чисел в степень

Подставляя в формулу значение k=1, получаем второй корень:

Возведение комплексных чисел в степень

Ответ: 


Пример 17 Найти корни уравнения , где 

Сначала представим уравнение в виде :

Если , тогда 

Обозначим  привычной формульной буквой: 

Таким образом, требуется найти корни уравнения 

В данном примере n=3, а значит, уравнение имеет ровно три корня: z0, z1, z2

Детализирую общую формулу:

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число  располагается во второй четверти, поэтому:

Возведение комплексных чисел в степень

Еще раз детализирую формулу:

Возведение комплексных чисел в степень

Корень удобно сразу же упростить:

Возведение комплексных чисел в степень

Подставляем в формулу значение k=0 и получаем первый корень:

Возведение комплексных чисел в степень

Подставляем в формулу значение k=2 и получаем третий корень:

Возведение комплексных чисел в степень

Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:

Возведение комплексных чисел в степень

Как выполнить чертеж?

Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

Теперь берем аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах:  . Отмеряем транспортиром  и ставим на чертеже точку z0.

Берем аргумент второго корня  и переводим его в градусы: .

Отмеряем транспортиром  и ставим на чертеже точку z1.

По такому же алгоритму строится точка z2.

Категорія: Алгебра и геометрия (Лекции)
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Ctrl + Enter