Определение линейного пространства. Свойства линейного пространства
Содержание страницы:
Лекция 4. Линейные пространства и операторы
1. Линейное пространство. Базис. Размерность. Подпространство
1.1 Определение линейного пространства
Определение. Множество элементов x , y , …, z называется линейным пространством, если:
1) Для любых двух элементов x и y определена операция сложения этих элементов, т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства , называемого их суммой и обозначаемого x + y ;
2) Для любого элемента x и любого числа — вещественного или комплексного – определена операция умножения элемента x на число , т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства , называемого произведением элемента x на число и обозначаемого x ;
3) Определено равенство элементов из , обозначаемое знаком = ;
4) Операции сложения и умножения на число удовлетворяют условиям:
a) x + y = y + x , т.е. сложение коммутативно;
б) (x + y) + z = x + (y + z) , т.е. сложение ассоциативно;
в) ( x) = ( )x , т.е. умножение на число ассоциативно;
г) ( + ) x = x + x , т.е. умножение дистрибутивно по отношению к сложению чисел;
д) (x + y) = x + y , т.е. умножение на число дистрибутивно по отношению к сложению элементов из ;
е) Существует элемент, называемый нулевым и такой, что для любого элемента x , x + 0 = x ;
ж) Для любого элемента x имеет место равенство x 1 = 1 x = x .
з) Для любого элемента x существует элемент x , называемый противоположным
элементу x и такой, что x + ( x) = 0.
Заметим, что если произведение x определено только для вещественных чисел, то пространство называется вещественным линейным пространством; если же — комплексное число, то линейное пространство называется комплексным линейным пространством. Если известна природа элементов, входящих в линейное пространство, то линейное пространство называется конкретным.
1.2. Свойства линейного пространства
1. В каждом линейном пространстве существует единственный элемент 0.
2. В каждом линейном пространстве любому элементу соответствует единственный противоположный элемент.
3. Для всякого элемента x справедливо равенство 0 x = 0.
Произведение любого числа на нулевой элемент линейного пространства равно нулевому элементу, т.е. 0 = 0.
4. Для каждого элемента x противоположный элемент равен произведению этого элемента на число 1, т.е. x = ( 1) x