Лекция 4. Линейные пространства и операторы

1. Линейное пространство. Базис. Размерность. Подпространство

1.1 Определение линейного пространства

Определение. Множество ? элементов x , y , …, z называется линейным пространством, если:

1) Для любых двух элементов x?? и y ?? определена операция сложения этих элементов, т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства ?, называемого их суммой и обозначаемого x + y ;

2) Для любого элемента x?? и любого числа ? - вещественного или комплексного – определена операция умножения элемента x на число ? , т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства ?, называемого произведением элемента x на число ? и обозначаемого ? ? x ;

3) Определено равенство элементов из ? , обозначаемое знаком = ;

4) Операции сложения и умножения на число удовлетворяют условиям:

a) x + y = y + x , т.е. сложение коммутативно;

б) (x + y) + z = x + (y + z) , т.е. сложение ассоциативно;

в) ? (? x) = (?? )x , т.е. умножение на число ассоциативно;

г) (? + ? ) ? x = ? ? x + ? ? x , т.е. умножение дистрибутивно по отношению к сложению чисел;

д) ? (x + y) = ? ? x + ? ? y , т.е. умножение на число дистрибутивно по отношению к сложению элементов из ?;

е) Существует элемент, называемый нулевым и такой, что для любого элемента x??, x + 0 = x ;

ж) Для любого элемента x?? имеет место равенство x ? 1 = 1 ? x = x .

з) Для любого элемента x существует элемент ?x , называемый противоположным

элементу x и такой, что x + (?x) = 0.

Заметим, что если произведение ?x определено только для вещественных чисел, то пространство ? называется вещественным линейным пространством; если же ? - комплексное число, то линейное пространство ? называется комплексным линейным пространством. Если известна природа элементов, входящих в линейное пространство, то линейное пространство называется конкретным.

1.2. Свойства линейного пространства

1. В каждом линейном пространстве существует единственный элемент 0.

2. В каждом линейном пространстве любому элементу соответствует единственный противоположный элемент.

3. Для всякого элемента x?? справедливо равенство 0 ? x = 0.

Произведение любого числа ? на нулевой элемент линейного пространства равно нулевому элементу, т.е. ? ? 0 = 0.

4. Для каждого элемента x?? противоположный элемент равен произведению этого элемента на число ?1, т.е. x = (?1) ? x