Определение. Множество ? элементов x , y , …, z называется линейным пространством, если:
1) Для любых двух элементов x?? и y ?? определена операция сложения этих элементов, т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства ?, называемого их суммой и обозначаемого x + y ;
2) Для любого элемента x?? и любого числа ? - вещественного или комплексного – определена операция умножения элемента x на число ? , т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства ?, называемого произведением элемента x на число ? и обозначаемого ? ? x ;
3) Определено равенство элементов из ? , обозначаемое знаком = ;
4) Операции сложения и умножения на число удовлетворяют условиям:
a) x + y = y + x , т.е. сложение коммутативно;
б) (x + y) + z = x + (y + z) , т.е. сложение ассоциативно;
в) ? (? x) = (?? )x , т.е. умножение на число ассоциативно;
г) (? + ? ) ? x = ? ? x + ? ? x , т.е. умножение дистрибутивно по отношению к сложению чисел;
д) ? (x + y) = ? ? x + ? ? y , т.е. умножение на число дистрибутивно по отношению к сложению элементов из ?;
е) Существует элемент, называемый нулевым и такой, что для любого элемента x??, x + 0 = x ;
ж) Для любого элемента x?? имеет место равенство x ? 1 = 1 ? x = x .
з) Для любого элемента x существует элемент ?x , называемый противоположным
элементу x и такой, что x + (?x) = 0.
Заметим, что если произведение ?x определено только для вещественных чисел, то пространство ? называется вещественным линейным пространством; если же ? - комплексное число, то линейное пространство ? называется комплексным линейным пространством. Если известна природа элементов, входящих в линейное пространство, то линейное пространство называется конкретным.
1. В каждом линейном пространстве существует единственный элемент 0.
2. В каждом линейном пространстве любому элементу соответствует единственный противоположный элемент.
3. Для всякого элемента x?? справедливо равенство 0 ? x = 0.
Произведение любого числа ? на нулевой элемент линейного пространства равно нулевому элементу, т.е. ? ? 0 = 0.
4. Для каждого элемента x?? противоположный элемент равен произведению этого элемента на число ?1, т.е. x = (?1) ? x