Определение линейного пространства. Свойства линейного пространства

Лекция 4. Линейные пространства и операторы


1. Линейное пространство. Базис. Размерность. Подпространство


1.1 Определение линейного пространства

Определение. Множество ? элементов x , y , …, z называется линейным пространством, если:

1) Для любых двух элементов x?? и y ?? определена операция сложения этих элементов, т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства ?, называемого их суммой и обозначаемого x + y ;

2) Для любого элемента x?? и любого числа ? - вещественного или комплексного – определена операция умножения элемента x на число ? , т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства ?, называемого произведением элемента x на число ? и обозначаемого ? ? x ;

3) Определено равенство элементов из ? , обозначаемое знаком = ;

4) Операции сложения и умножения на число удовлетворяют условиям:

a) x + y = y + x , т.е. сложение коммутативно;

б) (x + y) + z = x + (y + z) , т.е. сложение ассоциативно;

в) ? (? x) = (?? )x , т.е. умножение на число ассоциативно;

г) (? + ? ) ? x = ? ? x + ? ? x , т.е. умножение дистрибутивно по отношению к сложению чисел;

д) ? (x + y) = ? ? x + ? ? y , т.е. умножение на число дистрибутивно по отношению к сложению элементов из ?;

е) Существует элемент, называемый нулевым и такой, что для любого элемента x??, x + 0 = x ;

ж) Для любого элемента x?? имеет место равенство x ? 1 = 1 ? x = x .

з) Для любого элемента x существует элемент ?x , называемый противоположным

элементу x и такой, что x + (?x) = 0.

Заметим, что если произведение ?x определено только для вещественных чисел, то пространство ? называется вещественным линейным пространством; если же ? - комплексное число, то линейное пространство ? называется комплексным линейным пространством. Если известна природа элементов, входящих в линейное пространство, то линейное пространство называется конкретным.



1.2. Свойства линейного пространства

1. В каждом линейном пространстве существует единственный элемент 0.

2. В каждом линейном пространстве любому элементу соответствует единственный противоположный элемент.

3. Для всякого элемента x?? справедливо равенство 0 ? x = 0.

Произведение любого числа ? на нулевой элемент линейного пространства равно нулевому элементу, т.е. ? ? 0 = 0.

4. Для каждого элемента x?? противоположный элемент равен произведению этого элемента на число ?1, т.е. x = (?1) ? x

Статистика
0  
Всього матеріалів 4382
0  
Всього коментарів 16
0  
Користувачів 165
Наші партнери
Оновлення new
  • Подання доказів у цивільному процесі
  • Сторони та інші учасники справи подають докази у справі безпосередньо до суду. Позивач, особи, яким законом надано право звертатися до суду в
  • Підстави звільнення від доказування у цивільному процесі
  • Обставини, які визнаються учасниками справи, не підлягають доказуванню, якщо суд не має обґрунтованого сумніву щодо достовірності цих обставин або
  • Обов’язок доказування і подання доказів у цивільному процесі
  • Кожна сторона повинна довести ті обставини, на які вона посилається як на підставу своїх вимог або заперечень, крім випадків, встановлених ЦПК
  • Достатність доказів у цивільному процесі
  • Достатніми є докази, які у своїй сукупності дають змогу дійти висновку про наявність або відсутність обставин справи, які входять до предмета
  • Допустимість доказів у цивільному процесі
  • У Конституції України містяться певні норми, що гарантують отримання доказів з дотриманням законодавства України. Так, стаття 31 Конституції
Інформація
Голосування
Як Ви оцiнюєте рiвень освiти, який отримуєте у ВНЗ?