Возведение комплексных чисел в степень

Содержание страницы:

Лекция 3. Возведение комплексных чисел в степень

Начнем с квадрата.

Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: . Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно.

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Пример 10 Дано комплексное число , найти z20.

Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. В примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Пример 11 Дано комплексное число , найти z30. Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Представим число в тригонометрической форме: (это число z4 Примера 8). Используем формулу Муавра :

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12 Возвести в степень комплексные числа i10, i33, (-i)21. Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 13 Возвести в степень комплексные числа

Извлечение корней из комплексных чисел.

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим пример:

Нельзя извлечь корень Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения

Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: и т.д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня.

Пример 14 Решить квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным формулам получаем два корня:

– сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:

Нетрудно понять, что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида имеет ровно n корней, часть из которых могут быть комплексные

Пример 15 Найти корни уравнения 4z2+1=0 и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложим квадратный двучлен на множители:

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа

Уравнение вида имеет ровно n корней , которые можно найти по формуле:

где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения:

Пример 16 Найти корни уравнения

Перепишем уравнение в виде

В данном примере , n=2 , поэтому уравнение будет иметь два корня: z0 и z1 .

Общую формулу можно сразу детализировать:

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается в первой четверти, поэтому:

Еще более детализируем формулу:

Подставляя в формулу значение k=0, получаем первый корень:

Подставляя в формулу значение k=1, получаем второй корень:

Ответ:

Пример 17 Найти корни уравнения , где

Сначала представим уравнение в виде :

Если , тогда

Обозначим привычной формульной буквой:

Таким образом, требуется найти корни уравнения

В данном примере n=3, а значит, уравнение имеет ровно три корня: z0, z1, z2

Детализирую общую формулу:

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается во второй четверти, поэтому:

Еще раз детализирую формулу:

Корень удобно сразу же упростить:

Подставляем в формулу значение k=0 и получаем первый корень:

Подставляем в формулу значение k=2 и получаем третий корень:

Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж

Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.