Евклидово пространство

Лекция 5.
Евклидово пространство En


Определение евклидова пространства

Определение 1. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нём определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам x и y из этого пространства число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначаемое (x,y) , для которого выполнены условия:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , где z - любой вектор, принадлежащий данному линейному пространству;

3. (?x,y) = ? (x,y) , где ? - любое число;

4. (x,x) ? 0 , причём (x,x) = 0  x = 0.

Например, в линейном пространстве одностолбцовых матриц скалярное произведение векторов

можно определить формулой

Евклидово пространство размерности n обозначают En. Заметим, что существуют как конечномерные, так и бесконечномерные евклидовы пространства.

Определение 2. Длиной (модулем) вектора x в евклидовом пространстве En называют (x,x) и обозначают её так: |x| = (x,x) . У всякого вектора евклидова пространства существует длина, причём у нулевого вектора она равна нулю.

Умножая ненулевой вектор x на число  , мы получим вектор  , длина которого равна единице. Эта операция называется нормированием вектора x.

Например, в пространстве одностолбцовых матриц длину вектора  можно определить формулой: 



Неравенство Коши-Буняковского

Пусть x? En и y ? En – любые два вектора. Докажем, что для них имеет место неравенство:

(Неравенство Коши-Буняковского)

Доказательство. Пусть ? - любое вещественное число. Очевидно, что (?x ? y,?x ? y) ? 0. С другой стороны, в силу свойств скалярного произведения можем написать

Получили, что 

Дискриминант этого квадратного трёхчлена не может быть положительным, т.е.  , откуда вытекает: 

Неравенство доказано.



Неравенство треугольника

Пусть x и y - произвольные векторы евклидова пространства En , т.е. x? En и y ? En

Докажем, что  . (Неравенство треугольника).

Доказательство. Очевидно, что  С другой стороны,Принимая во внимание неравенство Коши-Буняковского, получим

Неравенство треугольника доказано. 



Норма евклидова пространства

Определение 1. Линейное пространство ? называется метрическим, если любым двум элементам этого пространства x и y поставлено в соответствие неотрицательное число ? (x,y) , называемое расстоянием между x и y , (? (x,y) ? 0) , причём выполняются условия (аксиомы):

1) ? (x,y) = 0  x = y

2) ? (x,y) = ? (y,x) (симметрия);

3) для любых трёх векторов x, y и z этого пространства ? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).

Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Евклидово пространство En – метрическое, причём в качестве расстояния между векторами x? En и y? En можно взять x ? y.

Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где

получим 

следовательно 

Определение 2. Линейное пространство ? называется нормированным, если каждому вектору x из этого пространства поставлено в соответствие неотрицательное число, называемое его нормой x. При этом выполняются аксиомы:

1) 

 

2) 

3) 

Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метрическим пространством. В самом деле, в качестве расстояния между x и y можно взять  . В евклидовом пространстве En в качестве нормы любого вектора x? En принимается его длина, т.е.  .

Итак, евклидово пространство En является метрическим пространством и более того, евклидово пространство En является нормированным пространством.



Угол между векторами

Определение 1. Углом между ненулевыми векторами a и b евклидова пространства En называют число  для которого 

Определение 2. Векторы x и y евклидова пространства En называются ортогональными, если для них выполняется равенство (x,y) = 0.

Если x и y - ненулевые, то из определения следует, что угол между ними равен 

Заметим, что нулевой вектор по определению считается ортогональным любому вектору.

Пример. В геометрическом (координатном) пространстве ?3, которое является частным случаем евклидова пространства, орты i, j и k взаимно-ортогональны.



Ортонормированный базис

Определение 1. Базис e1,e2,...,en евклидова пространства En называется ортогональным, если векторы этого базиса попарно ортогональны, т.е. если

Определение 2. Если все векторы ортогонального базиса e1, e2,...,en единичны, т.е. e= 1 (i = 1,2,...,n ) , то базис называется ортонормированным, т.е. для ортонормированного базиса

Теорема. (о построении ортонормированного базиса)

Во всяком евклидовом пространстве E n существуют ортонормированные базисы.

Доказательство. Докажем теорему для случая n = 3. 

Пусть E1,E2,E3 - некоторый произвольный базис евклидова пространства E3 Построим какой-нибудь ортонормированный базис  в этом пространстве. Положим  , где ? - некоторое вещественное число, которое выберем таким образом, чтобы было (e1,e2) = 0, тогда получим

причём очевидно, что ? = 0 , если E1 и E2 ортогональны, т.е. в этом случае e2 = E2 , а , т.к. это базисный вектор.

Далее, определим вектор e3 равенством  , причём числа  определяется из условия ортогональности вектора e3 с векторами e1,e2, т.е.

 

Учитывая, что (e1,e2) = 0, получим

Очевидно, что , если e1 и e2 ортогональны с вектором E3, т.е. в этом случае следует взять e3 = E3. Вектор E3 ? 0 , т.к. E1, E2 и E3 линейно независимы, следовательно e3 ? 0.

Кроме того, из приведённого рассуждения следует, что e3 нельзя представить в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 , следовательно векторы e1, e2, e3 линейно независимы и попарно ортогональны, следовательно, их можно взять в качестве базиса евклидова пространства E3. Остаётся только пронормировать построенный базис, для чего достаточно каждый из построенных векторов разделить на его длину. Тогда получим

Итак, мы построили базис  - ортонормированный базис. Теорема доказана.

Применённый способ построения ортонормированного базиса из произвольного базиса называется процессом ортогонализации. Заметим, что в процессе доказательства теоремы мы установили, что попарно ортогональные векторы линейно независимы. Кроме того, если  - ортонормированный базис в En, тогда для любого вектора x? En имеет место единственное разложение

где x1, x2,..., xn - координаты вектора x в этом ортонормированном базисе. 

Так как

 

то умножив скалярно равенство (*) на  , получим  .

В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные базисы, а потому для простоты их записи нолики сверху у базисных векторов  мы будем опускать.

Статистика
0  
Всього матеріалів 4285
0  
Всього коментарів 2
0  
Користувачів 20
Наші партнери
Оновлення new
  • Поняття злочину
  • Злочин, як і будь-яке інше правопорушення, є вчинком людини. Поняття злочину в кримінальному законі є універсальною і фундаментальною категорією :
  • Принципи чинності закону України про кримінальну відповідальність
  • Притягнення до кримінально-правової відповідальності певними державними органами в Україні здійснюється на основі кількох принципів, зокрема: 
  • 24 травня відбудеться ЗНО з української мови та літератури
  • Як повідоляє Український центр оцінювання якості освіти: «допуск абітурієнтів до пункту тестування триватиме з 10:15 до 10:50, початок зовнішнього
  • Умови застосування видачі або передачі злочинця
  • Підставою видачі  є вчинення особою суспільно-небезпечного діяння, яке відповідно до законодавства України та законодавства запитуючої держави є
  • Універсальний принцип закону України про кримінальну відповідальність
  • Космополітичний (універсальний ) принцип передбачають поширення чинності кримінального законодавства України на суспільно небезпечні діяння, вчинені
Інформація
Голосування
Ви живете...