Определение 1. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нём определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам x и y из этого пространства число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначаемое (x,y) , для которого выполнены условия:
1. (x,y) = (y,x);
2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , где z - любой вектор, принадлежащий данному линейному пространству;
3. (?x,y) = ? (x,y) , где ? - любое число;
4. (x,x) ? 0 , причём (x,x) = 0 x = 0.
Например, в линейном пространстве одностолбцовых матриц скалярное произведение векторов
можно определить формулой
Евклидово пространство размерности n обозначают En. Заметим, что существуют как конечномерные, так и бесконечномерные евклидовы пространства.
Определение 2. Длиной (модулем) вектора x в евклидовом пространстве En называют (x,x) и обозначают её так: |x| = (x,x) . У всякого вектора евклидова пространства существует длина, причём у нулевого вектора она равна нулю.
Умножая ненулевой вектор x на число , мы получим вектор
, длина которого равна единице. Эта операция называется нормированием вектора x.
Например, в пространстве одностолбцовых матриц длину вектора можно определить формулой:
Пусть x? En и y ? En – любые два вектора. Докажем, что для них имеет место неравенство:
(Неравенство Коши-Буняковского)
Доказательство. Пусть ? - любое вещественное число. Очевидно, что (?x ? y,?x ? y) ? 0. С другой стороны, в силу свойств скалярного произведения можем написать
Получили, что
Дискриминант этого квадратного трёхчлена не может быть положительным, т.е. , откуда вытекает:
Неравенство доказано.
Пусть x и y - произвольные векторы евклидова пространства En , т.е. x? En и y ? En.
Докажем, что . (Неравенство треугольника).
Доказательство. Очевидно, что С другой стороны,
. Принимая во внимание неравенство Коши-Буняковского, получим
Неравенство треугольника доказано.
Определение 1. Линейное пространство ? называется метрическим, если любым двум элементам этого пространства x и y поставлено в соответствие неотрицательное число ? (x,y) , называемое расстоянием между x и y , (? (x,y) ? 0) , причём выполняются условия (аксиомы):
1) ? (x,y) = 0 x = y
2) ? (x,y) = ? (y,x) (симметрия);
3) для любых трёх векторов x, y и z этого пространства ? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).
Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют точками.
Евклидово пространство En – метрическое, причём в качестве расстояния между векторами x? En и y? En можно взять x ? y.
Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где
получим
Определение 2. Линейное пространство ? называется нормированным, если каждому вектору x из этого пространства поставлено в соответствие неотрицательное число, называемое его нормой x. При этом выполняются аксиомы:
1)
2)
3)
Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метрическим пространством. В самом деле, в качестве расстояния между x и y можно взять . В евклидовом пространстве En в качестве нормы любого вектора x? En принимается его длина, т.е.
.
Итак, евклидово пространство En является метрическим пространством и более того, евклидово пространство En является нормированным пространством.
Определение 1. Углом между ненулевыми векторами a и b евклидова пространства En называют число для которого
Определение 2. Векторы x и y евклидова пространства En называются ортогональными, если для них выполняется равенство (x,y) = 0.
Если x и y - ненулевые, то из определения следует, что угол между ними равен
Заметим, что нулевой вектор по определению считается ортогональным любому вектору.
Пример. В геометрическом (координатном) пространстве ?3, которое является частным случаем евклидова пространства, орты i, j и k взаимно-ортогональны.
Определение 1. Базис e1,e2,...,en евклидова пространства En называется ортогональным, если векторы этого базиса попарно ортогональны, т.е. если
Определение 2. Если все векторы ортогонального базиса e1, e2,...,en единичны, т.е. ei = 1 (i = 1,2,...,n ) , то базис называется ортонормированным, т.е. для ортонормированного базиса
Теорема. (о построении ортонормированного базиса)
Во всяком евклидовом пространстве E n существуют ортонормированные базисы.
Доказательство. Докажем теорему для случая n = 3.
Пусть E1,E2,E3 - некоторый произвольный базис евклидова пространства E3 Построим какой-нибудь ортонормированный базис в этом пространстве. Положим
, где ? - некоторое вещественное число, которое выберем таким образом, чтобы было (e1,e2) = 0, тогда получим
причём очевидно, что ? = 0 , если E1 и E2 ортогональны, т.е. в этом случае e2 = E2 , а , т.к. это базисный вектор.
Далее, определим вектор e3 равенством , причём числа
определяется из условия ортогональности вектора e3 с векторами e1,e2, т.е.
Учитывая, что (e1,e2) = 0, получим
Очевидно, что , если e1 и e2 ортогональны с вектором E3, т.е. в этом случае следует взять e3 = E3. Вектор E3 ? 0 , т.к. E1, E2 и E3 линейно независимы, следовательно e3 ? 0.
Кроме того, из приведённого рассуждения следует, что e3 нельзя представить в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 , следовательно векторы e1, e2, e3 линейно независимы и попарно ортогональны, следовательно, их можно взять в качестве базиса евклидова пространства E3. Остаётся только пронормировать построенный базис, для чего достаточно каждый из построенных векторов разделить на его длину. Тогда получим
Итак, мы построили базис - ортонормированный базис. Теорема доказана.
Применённый способ построения ортонормированного базиса из произвольного базиса называется процессом ортогонализации. Заметим, что в процессе доказательства теоремы мы установили, что попарно ортогональные векторы линейно независимы. Кроме того, если - ортонормированный базис в En, тогда для любого вектора x? En имеет место единственное разложение
где x1, x2,..., xn - координаты вектора x в этом ортонормированном базисе.
Так как
то умножив скалярно равенство (*) на
, получим
.
В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные базисы, а потому для простоты их записи нолики сверху у базисных векторов мы будем опускать.
вологість:
тиск:
вітер:
вологість:
тиск:
вітер:
вологість:
тиск:
вітер: