Линейные операторы и действия над ними

Лекция 6. Линейные операторы и действия над ними


Матрица линейного оператора

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x?? ставит в соответствие вектор y ??, то говорят, что в линейном пространстве ? задан оператор A , при этом пишут:

y = A x . (*)

 

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x1 ?? и x2 ?? и произвольного числа ? выполняются условия:

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве En базис e1,e2,...,en и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .

 

Разложим векторы x и y по базису e1,e2,...,en :

В силу линейности оператора A можно написать

Заметим, что каждый вектор , следовательно, его также можно разложить по базису e1,e2,...,en, т.е.

А тогда

Линейные операторы и действия над ними

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Aei (i = 1,2,...,n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e1,e2,...,en .

Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве En соответствует матрица A; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e1,e2,...,en .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A-1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A-1 ? Y .



Примеры линейных операторов

1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

связывающее вектор-прообраз  с вектором-образом 

2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого пространства его производную функцию.

3. В пространстве многочленов Pn (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .

Пример: Известны образы базисных векторов E3 под действием оператора A :

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.

 

Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X-1Y . Для нашего примера получаем

Линейные операторы и действия над ними

 

 


Действия над операторами

Сложение линейных операторов. Пусть x?En, A и B - два линейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в En называется оператор Cопределяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из En .

Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B - матрицы линейных операторов A и B .

Умножение линейного оператора на число. Пусть x?En , линейный оператор A определён в En , ? - некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число ? называется оператор ?A , определяемый равенством  .

?A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число ? , т.е. она равна ? ? A.

Умножение линейных операторов. Пусть x? En , y ? En , z ? En и кроме того в En определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A ? B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

Рассмотрим матрицы – столбцы:

и обозначим через A, B и C - соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A ? (B ? X) = (A ? B) ? X = C ? X , таким образом, C = A ? B, т.е. матрица произведения линейных операторов также является линейным оператором.

a) (A ? B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ? B) ? x + (A ? B) ? y

б) (A ? B)(? x) = A (B(? x)) = A (?Bx) =?A (Bx) =? (A ? B)x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если  . Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства  он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть 

Статистика
3  
Всього матеріалів 4350
0  
Всього коментарів 10
0  
Користувачів 62
Наші партнери
Оновлення new
  • З початку 2019 року зарплата науково-педагогічних працівників підвищиться на 20%
  • З січня 2019 року зарплата науково-педагогічних працівників загалом підвищиться на 20%, зарплати ж інших педагогічних працівників, як і решти
  • Процесуальне правонаступництво
  • У процесі провадження у справі у цивільному судочинстві можлива також заміна сторін та третіх осіб іншими особами, коли до них переходить права та
  • Відмінність третіх осіб від інших учасників судового процесу
  • Треба відрізняти поняття цивільного позивача та третьої особи, яка заявляє самостійні вимоги щодо предмета спору. Так, в інтересах позивача
  • Треті особи, які не заявляють самостійні вимоги щодо предмета спору та наслідки залучення
  • Треті особи, які не заявляють самостійних вимог щодо предмета спору — це треті особи, які беруть участь у справі на стороні позивача або відповідача
  • Треті особи, які заявляють самостійні вимоги щодо предмета спору
  • Треті особи, які заявляють самостійні вимоги щодо предмета спору, можуть вступити у справу до закінчення підготовчого провадження або до початку
Інформація
Голосування
Чого бракує сайту ?