Поиск по сайту

Определение линейного пространства. Свойства линейного пространства

Лекция 4. Линейные пространства и операторы


1. Линейное пространство. Базис. Размерность. Подпространство


1.1 Определение линейного пространства

Определение. Множество элементов x , y , …, z называется линейным пространством, если:

1) Для любых двух элементов x и y определена операция сложения этих элементов, т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства , называемого их суммой и обозначаемого x + y ;

2) Для любого элемента x и любого числа - вещественного или комплексного – определена операция умножения элемента x на число , т.е. дано правило нахождения элемента линейного пространства , называемого произведением элемента x на число и обозначаемого x ;

3) Определено равенство элементов из , обозначаемое знаком = ;

4) Операции сложения и умножения на число удовлетворяют условиям:

a) x + y = y + x , т.е. сложение коммутативно;

б) (x + y) + z = x + (y + z) , т.е. сложение ассоциативно;

в) ( x) = ( )x , т.е. умножение на число ассоциативно;

г) ( + ) x = x + x , т.е. умножение дистрибутивно по отношению к сложению чисел;

д) (x + y) = x + y , т.е. умножение на число дистрибутивно по отношению к сложению элементов из ;

е) Существует элемент, называемый нулевым и такой, что для любого элемента x , x + 0 = x ;

ж) Для любого элемента x имеет место равенство x 1 = 1 x = x .

з) Для любого элемента x существует элемент x , называемый противоположным

элементу x и такой, что x + ( x) = 0.

Заметим, что если произведение x определено только для вещественных чисел, то пространство называется вещественным линейным пространством; если же - комплексное число, то линейное пространство называется комплексным линейным пространством. Если известна природа элементов, входящих в линейное пространство, то линейное пространство называется конкретным.



1.2. Свойства линейного пространства

1. В каждом линейном пространстве существует единственный элемент 0.

2. В каждом линейном пространстве любому элементу соответствует единственный противоположный элемент.

3. Для всякого элемента x справедливо равенство 0 x = 0.

Произведение любого числа на нулевой элемент линейного пространства равно нулевому элементу, т.е. 0 = 0.

4. Для каждого элемента x противоположный элемент равен произведению этого элемента на число 1, т.е. x = ( 1) x

Статистика
0  
Всього матеріалів 4382
0  
Всього коментарів 22
2  
Користувачів 729
Наши партнеры
Обновления new
  • Представление доказательств в гражданском процессе
  • Стороны и другие участники дела подают доказательства по делу непосредственно в суд. Истец  лица, которым законом предоставлено право обращаться в
  • Основания освобождения от доказывания в гражданском процессе
  • Обстоятельства, которые признаются участниками дела, не подлежат доказыванию, если суд не имеет обоснованного сомнения в достоверности этих
  • Обязанность доказывания и представления доказательств в гражданском процессе
  • Каждая сторона должна доказать те обстоятельства, на которые она ссылается как на основание своих требований или возражений, кроме случаев,
  • Достаточность доказательств в гражданском процессе
  • Достаточны доказательства, в своей совокупности позволяют сделать вывод о наличии или отсутствии обстоятельств дела, входящие в предмет доказывания.
  • Допустимость доказательств в гражданском процессе
  • В Конституции Украины содержатся определенные нормы, гарантирующие получение доказательств с соблюдением законодательства Украины. Так, статья 31
Информация