Линейные операторы и действия над ними

Лекция 6. Линейные операторы и действия над ними

Матрица линейного оператора

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x ставит в соответствие вектор y , то говорят, что в линейном пространстве задан оператор A , при этом пишут:

y = A x . (*)

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x1 и x2 и произвольного числа выполняются условия:

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве En базис e1,e2,…,en и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .

Разложим векторы x и y по базису e1,e2,…,en :

В силу линейности оператора A можно написать

Заметим, что каждый вектор , следовательно, его также можно разложить по базису e1,e2,…,en, т.е.

А тогда

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Aei (i = 1,2,…,n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e1,e2,…,en .

Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве En соответствует матрица A; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e1,e2,…,en .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A-1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A-1 Y .

Примеры линейных операторов

1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

связывающее вектор-прообраз  с вектором-образом 

2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого пространства его производную функцию.

3. В пространстве многочленов Pn (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .

Пример: Известны образы базисных векторов E3 под действием оператора A :

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.

Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X-1Y . Для нашего примера получаем

Действия над операторами

Сложение линейных операторов. Пусть x En, A и B — два линейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в En называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из En .

Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B — матрицы линейных операторов A и B .

Умножение линейного оператора на число. Пусть x En , линейный оператор A определён в En , — некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число называется оператор A , определяемый равенством  .

A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число , т.е. она равна A.

Умножение линейных операторов. Пусть x En , y En , z En и кроме того в En определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

Рассмотрим матрицы – столбцы:

и обозначим через A, B и C — соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A (B X) = (A B) X = C X , таким образом, C = A B, т.е. матрица произведения линейных операторов также является линейным оператором.

a) (A B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A B) x + (A B) y

б) (A B)( x) = A (B( x)) = A ( Bx) = A (Bx) = (A B)x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если  . Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства  он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть